В учебном пособии впервые достаточно полно рассматриваются основы теории элементарных алгоритмов (элементарных по Кальмару функций), изученных современной теорией алгоритмов и успешно используемых в математических исследованиях. Излагаются также способы получения границ оптимизации (в том числе и полиномиального вида) для алгоритмов установления разрешимости синтаксически ограниченных уравнений дискретного характера. Учебное пособие предназначено для студентов математических факультетов вузов и аспирантов. Оно будет также полезно и инженерным работникам, интересующимся математическими возможностями алгоритмов и программ.